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等差数列公式,求和的七种办法

  • 日期:2019-12-09 13:39
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等差数列是遍及数列的一种,能够用AP表达,假设一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这一数列就称为等差数列,而这一常数称为等差数列的尺度公役,尺度公役常见英文字母d表达。

等差数列求和公式

 (一)等差数列求和公式

1.公式法

公式法

2.错位相减法

错位相减法

3.求和公式

求和公式

4.排序法

有一类数列,既并不是等差数列,也并不是等比数列,若将这种数列适度拆开,可分红好多个等差、等比或遍及的数列,随后各自求饶,再将其合拼就能.

排序法

5.裂项相消法

适用分办法的通项公式,把一项分解成2个或好几个的差的办法,即an=f(n+1)f(n),随后累积时相抵正中心的很多项。

裂项相消法

总结:该类形变的特性是将原数列每一项拆为二项今后,在其中正中心的绝大多数项都相互之间相抵了。仅剩缺乏的几类。

留心:剩余的项具有以下的特性

1、剩余的项前后左右的部位前后左右是对称性的。

2、剩余的项前后左右的正负极性是反过来的。

6.数学归纳法

一般地,证明一个与正整数n相关的出题,有以下流程:

1)证明当n取第一个值时出题建立;

2)假定当n=kkn的第一个值,k为自然数)时出题建立,证明当n=k+1时出题也建立。

例:

认证:

1×2×3×4\#+ 2×3×4×5\#+ 3×4×5×6\#+ .……\#+ n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明:

n=1时,有:

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假定出题在n=k时建立,因而:

1×2x3×4\#+ 2×3×4×5\#+ 3×4×5×6\#+ .……\#+ k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

则当n=k+1时会:

1×2×3×4\#+ 2×3×4×5\#+ 3×4×5×6\#+ ……\#+ (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4\#+ 2×3×4*5\#+ 3×4×5×6\#+ ……\#+ k(k+1)(k+2)(k+3)\#+ (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5\#+ (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5\#+1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

n=k+1时原等式仍然建立,梳理得证

7.并项求饶法

(常选用先看看后求饶的办法

例:12+34+56+……+2n-1-2n

办法 一:(并项)

求十分数项和双数项的和,再相减。

办法 二:

12+34+56+……+[2n-1-2n]

办法 三:

结构新的数列,可运用等差数列与等比数列的复合型。

an=n(-1)^n+1

(二)等差数列判别以及特性

等差数列的判别

1a(n+1)--a(n)=d (d为常数、N*[an)--a(n-1)=dN*2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。

22a(n+1)=a(n)+a(n+2) [nN*] 等价于{a(n)}成等差数列。

3a(n)=kn+b [kb为常数,nN*] 等价于{a(n)}成等差数列。

4S(n)=A(n)^2\#+B(n) [AB为常数,A不以0N* ]等价于{a(n)}为等差数列。

共同特性

在有穷等差数列中,与首末二项距离相同的二项和相同。并且等于首末二项总和;十分的,若项数为奇数,还等于正中心项的2,

即,a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a

例:数列:1357911a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即,在有穷等差数列中,与首末二项距离相同的二项和相同。并且等于首末二项总和。

数列:13579a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即,若项数为奇数,和等于正中心项的2倍,另见,等差中项。

 

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